2. Дано: ABCD — ромб, K ∈ BC, BK = KC, O — точка пересечения диагоналей, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразить \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KO}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

Положим точку A началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), поскольку ABCD — параллелограмм.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)\).

Так как K — середина BC, а \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\), имеем \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\vec a+\frac12\vec b\).

Тогда \(\overrightarrow{KO}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AO}=-\left(\vec a+\frac12\vec b\right)+\frac12(\vec a+\vec b)=-\frac12\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KO}=-\frac12\vec a\).