2. Дано: ∠B = 60°, дуга AB : дуга BC = 7:5. Найти: ∠A, ∠C, ∠AOC.

Дано:

• \[ \angle B = 60^{\circ} \]
• \[ \text{дуга } AB : \text{дуга } BC = 7:5 \]

Найти:

• \[ \angle A, \angle C, \angle AOC \]

Решение:

1. Угол ∠B вписанный и опирается на дугу AC.
• \[ \text{Дуга } AC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
2. Связь дуг AB и BC:
• \[ \text{Дуга } AB + \text{дуга } BC = \text{Дуга } AC = 120^{\circ} \]
• Пусть дуга AB = 7x, а дуга BC = 5x.
• \[ 7x + 5x = 120^{\circ} \]
• \[ 12x = 120^{\circ} \]
• \[ x = 10^{\circ} \]
• Найдем длины дуг:
• \[ \text{Дуга } AB = 7x = 7 · 10^{\circ} = 70^{\circ} \]
• \[ \text{Дуга } BC = 5x = 5 · 10^{\circ} = 50^{\circ} \]
3. Найдем углы треугольника:
• \[ \angle A \text{ (вписанный) опирается на дугу } BC \]
• \[ \angle A = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} · 50^{\circ} = 25^{\circ} \]
• \[ \angle C \text{ (вписанный) опирается на дугу } AB \]
• \[ \angle C = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} · 70^{\circ} = 35^{\circ} \]
• Проверка: Сумма углов треугольника = 25° + 60° + 35° = 120°. Это не 180°. Что-то не так.
• Переосмысление: ∠B = 60° — это угол при вершине B, который опирается на дугу AC. Это верно.
• Проблема в интерпретации ∠B. Если ∠B — это вписанный угол ∠ABC, то он опирается на дугу AC.
• Рассмотрим дугу AB и BC. Их отношение 7:5.
• Полная окружность = 360°.
• Угол B = 60°. Это вписанный угол. Он опирается на дугу AC.
• \[ ext{Дуга } AC = 2 imes 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
• Нам дано отношение дуг AB и BC.
• \[ ext{Дуга } AB + ext{Дуга } BC + ext{Дуга } AC = 360^{\circ} \]
• \[ ext{Дуга } AB + ext{Дуга } BC = 360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ} \]
• Пусть uгол AB = 7x, uгол BC = 5x.
• \[ 7x + 5x = 240^{\circ} \]
• \[ 12x = 240^{\circ} \]
• \[ x = 20^{\circ} \]
• Найдем длины дуг:
• \[ ext{Дуга } AB = 7x = 7 · 20^{\circ} = 140^{\circ} \]
• \[ ext{Дуга } BC = 5x = 5 · 20^{\circ} = 100^{\circ} \]
• Проверка: 140° + 100° + 120° = 360°. Верно.
• Найдем углы треугольника:
• \[ uгол A \text{ (вписанный) опирается на дугу } BC \]
• \[ uгол A = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} · 100^{\circ} = 50^{\circ} \]
• \[ uгол C \text{ (вписанный) опирается на дугу } AB \]
• \[ uгол C = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} · 140^{\circ} = 70^{\circ} \]
• Проверка: Сумма углов треугольника = 50° + 60° + 70° = 180°. Верно.
• Найдем центральный угол ∠AOC.
• \[ uгол AOC \text{ является центральным углом, опирающимся на дугу } AC \]
• \[ uгол AOC = \text{дуга } AC = 120^{\circ} \]

Ответ: ∠A = 50°, ∠C = 70°, ∠AOC = 120°.