3. Хорды MN и KP пересекаются в точке T. Найдите MN, если KT = 6 см, PT = 8 см, а длина MT в три раза меньше длины NT.

Дано:

• Хорды MN и KP пересекаются в точке T.
• \[ KT = 6 \text{ см} \]
• \[ PT = 8 \text{ см} \]
• \[ MT = \frac{1}{3} NT \]

Найти:

• \[ MN \]

Решение:

1. Примениние теоремы о пересекающихся хордах: Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
• \[ MT \cdot NT = KT \cdot PT \]
2. Подставим известные значения:
• \[ MT \cdot NT = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \]
• \[ MT \cdot NT = 48 \text{ см}^2 \]
3. Используем условие MT = 1/3 NT:
• \[ \left( \frac{1}{3} NT \right) \cdot NT = 48 \text{ см}^2 \]
• \[ \frac{1}{3} NT^2 = 48 \text{ см}^2 \]
• \[ NT^2 = 48 \text{ см}^2 \cdot 3 \]
• \[ NT^2 = 144 \text{ см}^2 \]
• \[ NT = \sqrt{144 \text{ см}^2} = 12 \text{ см} \]
4. Найдем длину MT:
• \[ MT = \frac{1}{3} NT = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см} = 4 \text{ см} \]
5. Найдем длину хорды MN:
• \[ MN = MT + NT \]
• \[ MN = 4 \text{ см} + 12 \text{ см} = 16 \text{ см} \]

Ответ: 16 см