2. Дано: CB — касательная; ∠A = 30°. Найти: углы треугольника BOC.

Решение:

1. 
   

   CB — касательная к окружности в точке B. Радиус OB, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OBC = 90°.

   
   
2. 
   

   В треугольнике ABC, ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC. Мы знаем ∠OBC = 90°.

   
   
3. 
   

   В треугольнике AOB, OA и OB — радиусы, поэтому он равнобедренный. ∠OAB = ∠OBA = 30°.

   
   
4. 
   

   Теперь найдем ∠ABC: ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = 30° + 90° = 120°.

   
   
5. 
   

   В треугольнике BOC, нам известны два угла: ∠OBC = 90° и ∠BOC.

   
   
6. 
   

   Угол AOC является развернутым углом (180°), так как AC проходит через центр O. Нет, AC не проходит через центр O, AO - это линия, проходящая через центр. Угол AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 30° - 30° = 120° (так как AOB равнобедренный).

   
   
7. 
   

   В треугольнике AOC, OA = OC (радиусы), поэтому он равнобедренный. Угол ∠AOC = 180° - ∠AOB = 180° - 120° = 60°. Нет, это не так. AO и OC не образуют развернутый угол. A, O и точка на окружности, диаметрально противоположная A образуют развернутый угол.

   
   
8. 
   

   Рассмотрим треугольник AOC. OA и OC - радиусы, значит он равнобедренный. Угол ∠OAC = 30°.

   
   
9. 
   

   В треугольнике AOC, ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA). Так как ∠OAC = ∠OCA = 30°, то ∠AOC = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

   
   
10. 
    

    Теперь вернемся к треугольнику BOC. Мы знаем, что ∠OBC = 90°. Угол ∠BOC является смежным с углом ∠AOB. Нет. Угол ∠AOC = 120°.

    
    
11. 
    

    В треугольнике BOC, OB = OC (радиусы), поэтому он равнобедренный. Угол ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB. Это неправильно.

    
    
12. 
    

    Рассмотрим треугольник OBC. Мы знаем, что ∠OBC = 90°.

    
    
13. 
    

    Угол ∠AOC = 120°.

    
    
14. 
    

    Угол ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

    
    
15. 
    

    Угол ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB. Нет, это не верно.

    
    
16. 
    

    Угол ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA). ∠OAC = 30°. Так как OA = OC, то ∠OCA = 30°. Значит, ∠AOC = 180° - (30° + 30°) = 120°.

    
    
17. 
    

    Теперь рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит он равнобедренный. Угол ∠OBC = 90°.

    
    
18. 
    

    Угол ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB). Это не так.

    
    
19. 
    

    Угол ∠AOC = 120°. Угол ∠AOB = 120°.

    
    
20. 
    

    Угол ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 120° - 120° = 0°. Это неверно.

    
    
21. 
    

    Дано: ∠A = 30°.

    
    
22. 
    

    CB — касательная, значит ∠OBC = 90°.

    
    
23. 
    

    В равнобедренном △ AOB (∠OAB = ∠OBA = 30°), ∠AOB = 180° - (30° + 30°) = 120°.

    
    
24. 
    

    В △ BOC: ∠OBC = 90°. ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 120° = 60°.

    
    
25. 
    

    Углы в △ BOC: ∠OBC = 90°, ∠BOC = 60°.

    
    
26. 
    

    ∠OCB = 180° - 90° - 60° = 30°.

    
    

Ответ: Углы треугольника BOC равны: ∠OBC = 90°, ∠BOC = 60°, ∠OCB = 30°.