2. Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: A(−6; 1), B(0; 5), C(6; −4), D(0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей O.

Найдём векторы двух соседних сторон: \(\overrightarrow{AB}=(0-(-6);5-1)=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6-0;-4-5)=(6;-9)\).

Их скалярное произведение: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot6+4\cdot(-9)=36-36=0\). Значит, соседние стороны перпендикулярны. Поскольку ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Найдём середину AC: \(O\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right)=(0; -\frac{3}{2})\).

Ответ: ABCD — прямоугольник; \(O=(0;-\frac{3}{2})\).