2. Даша, Маша и Саша участвовали в олимпиаде по математике, где им было предложено по 6 задач. Каждая из девочек решила разное число задач, а всего ими вместе было решено 14 задач. Больше всех задач решила Саша. 1) Сколько задач решила Саша? 2) Известно, что Даша решила на две задачи меньше, чем Маша. Сколько задач решила Маша?

Решение:

1. Определим, сколько задач решила Саша:

1. Всего решено 14 задач.
2. Каждая решила разное число задач.
3. Саша решила больше всех.
4. Поскольку всего было предложено по 6 задач, то каждая могла решить от 0 до 6 задач.
5. Пусть Даша решила D задач, Маша - M, Саша - S.
6. D + M + S = 14.
7. D ≠ M, D ≠ S, M ≠ S.
8. S > D, S > M.
9. Возможные числа задач (от 0 до 6): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
10. Чтобы Саша решила больше всех, ей нужно как минимум 5 или 6 задач.
11. Если Саша решила 6 задач, то D + M = 14 - 6 = 8.
12. Возможные пары (D, M) для суммы 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).
13. Условие: D ≠ M, D ≠ S, M ≠ S.
14. Условие: S > D, S > M.
15. Если S = 6, то D и M должны быть меньше 6.
16. Пары, где D ≠ M и оба < 6: (2, 6) - не подходит, т.к. M=6=S; (3, 5); (5, 3).
17. Если D=3, M=5, S=6. Проверка: 3+5+6=14. Все числа разные (3, 5, 6). S больше всех (6>5, 6>3). Подходит.
18. Если D=5, M=3, S=6. Проверка: 5+3+6=14. Все числа разные (5, 3, 6). S больше всех (6>5, 6>3). Подходит.
19. Если Саша решила 5 задач, то D + M = 14 - 5 = 9.
20. Возможные пары (D, M) для суммы 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).
21. Условие: S > D, S > M.
22. Если S = 5, то D и M должны быть меньше 5.
23. Пары, где D ≠ M и оба < 5: (3, 6) - не подходит, т.к. M=6>S; (4, 5) - не подходит, т.к. M=5=S.
24. Единственный вариант, где Саша решила 6 задач.

Ответ: 6

2. Определим, сколько задач решила Маша:

1. Из первого пункта мы знаем, что возможны два варианта:
2. Вариант 1: Даша = 3, Маша = 5, Саша = 6.
3. Вариант 2: Даша = 5, Маша = 3, Саша = 6.
4. Условие: "Даша решила на две задачи меньше, чем Маша".
5. Проверим Вариант 1: Даша (3) = Маша (5) - 2. 3 = 5 - 2. Это верно.
6. Проверим Вариант 2: Даша (5) = Маша (3) - 2. 5 = 3 - 2. Это неверно (5 ≠ 1).
7. Значит, подходит Вариант 1.
8. В этом варианте Маша решила 5 задач.

Ответ: 5