2. Диагональ АС ромба ABCD равна 32, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - О. Тогда AO = OC = 32/2 = 16. В прямоугольном треугольнике BOC, tg ∠BCA = OB/OC. Следовательно, OB = OC * tg ∠BCA = 16 * 0.75 = 12. Сторона ромба BC = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt(12^2 + 16^2) = sqrt(144 + 256) = sqrt(400) = 20. Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (32 * 2 * OB) / 2 = 32 * 12 = 384. Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = a * h. Высота ромба h = S / a = 384 / 20 = 19.2. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба: r = h / 2 = 19.2 / 2 = 9.6.
Ответ: 9.6