2. Диагональ АС ромба АВСD равна 32, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - О. Тогда АО = ОС = 16. В прямоугольном треугольнике ВОС, tg ∠BCA = BO/OC. Отсюда BO = OC * tg ∠BCA = 16 * 0.75 = 12. Сторона ромба BC = sqrt(BO^2 + OC^2) = sqrt(12^2 + 16^2) = sqrt(144 + 256) = sqrt(400) = 20. Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (32 * 24) / 2 = 384. Радиус вписанной окружности r = S / (2 * сторона) = 384 / (2 * 20) = 384 / 40 = 9.6.
Ответ: 9.6