2. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \), а диагональ равна \( d \).

По теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 \).

По условию, диагональ вдвое больше одной из сторон. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( d = 2a \).

Подставим в теорему Пифагора: \( (2a)^2 = a^2 + b^2 \) => \( 4a^2 = a^2 + b^2 \) => \( 3a^2 = b^2 \) => \( b = a\sqrt{3} \).

В этом случае стороны прямоугольника соотносятся как \( a : a\sqrt{3} = 1 : \sqrt{3} \).

Углы, которые диагональ образует со сторонами, можно найти с помощью тригонометрии. Например, угол \( \alpha \) между диагональю и стороной \( a \) удовлетворяет условию \( \tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \).

Отсюда \( \alpha = 60^{\circ} \).

Другой угол \( \beta \) между диагональю и стороной \( b \) будет \( \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Случай 2: \( d = 2b \).

Аналогично получим \( a = b\sqrt{3} \), и стороны соотносятся как \( \sqrt{3} : 1 \).

В этом случае углы будут \( 30^{\circ} \) и \( 60^{\circ} \).

Больший из углов, образуемых диагональю со сторонами прямоугольника, равен \( 60^{\circ} \).

Ответ: 60.