2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковых граней равны \( 4\sqrt{10} \) см и \( 3\sqrt{17} \) см. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда равны \( a \), \( b \) и \( c \). Известно, что диагональ параллелепипеда \( d = 13 \) см.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: \( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \).

Диагонали боковых граней обозначим \( d_1 \) и \( d_2 \).

\( d_1^2 = a^2 + b^2 \) (диагональ грани с сторонами \( a \) и \( b \))

\( d_2^2 = b^2 + c^2 \) (диагональ грани с сторонами \( b \) и \( c \))

\( d_3^2 = a^2 + c^2 \) (диагональ грани с сторонами \( a \) и \( c \))

По условию, \( d = 13 \), \( d_1 = 4\sqrt{10} \) и \( d_2 = 3\sqrt{17} \).

Из этого следует:

1. \( d^2 = 13^2 = 169 \).
2. \( d_1^2 = (4\sqrt{10})^2 = 16 · 10 = 160 \).
3. \( d_2^2 = (3\sqrt{17})^2 = 9 · 17 = 153 \).

Теперь запишем систему уравнений:

• \( a^2 + b^2 + c^2 = 169 \)
• \( a^2 + b^2 = 160 \)
• \( b^2 + c^2 = 153 \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 160 + c^2 = 169 \) \( → \) \( c^2 = 169 - 160 = 9 \) \( → \) \( c = 3 \) см.

Подставим \( c^2 = 9 \) в третье уравнение:

\( b^2 + 9 = 153 \) \( → \) \( b^2 = 153 - 9 = 144 \) \( → \) \( b = 12 \) см.

Теперь найдем \( a^2 \), используя второе уравнение:

\( a^2 + 144 = 160 \) \( → \) \( a^2 = 160 - 144 = 16 \) \( → \) \( a = 4 \) см.

Стороны параллелепипеда равны 4 см, 12 см и 3 см.

Объем параллелепипеда \( V \) вычисляется по формуле: \( V = a · b · c \).

\( V = 4 · 12 · 3 = 48 · 3 = 144 \) см³.

Ответ: Объем параллелепипеда равен 144 см³.