2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точки A₁, B₁, C₁ и D₁ являются серединами отрезков AO, BO, CO и DO соответственно. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ тоже параллелограмм.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

Так как A₁ и C₁ — середины AO и CO, точки A₁, O, C₁ лежат на одной прямой, причём OA₁ = OC₁. Значит, O — середина A₁C₁.

Аналогично, O — середина B₁D₁, поскольку B₁ и D₁ — середины BO и DO.

Следовательно, диагонали четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.