2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точки M и N — середины отрезков OA и OB. Найдите, если это возможно, число k, для которого выполняется равенство: А) \(\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{MN}\); Б) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{NC}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\), а точку A примем за начало координат. Тогда \(B=\vec u\), \(D=\vec v\), \(C=\vec u+\vec v\), а диагонали параллелограмма делятся пополам в точке O.

Так как M и N — середины OA и OB, получаем \(M=\frac14(\vec u+\vec v)\) и \(N=\frac12\vec u\).

А) \(\overrightarrow{CD}=D-C=-\vec u\), а \(\overrightarrow{MN}=N-M=\frac14(\vec u-\vec v)\). Равенство потребовало бы \(-\vec u=\frac{k}{4}(\vec u-\vec v)\). Поскольку стороны параллелограмма \(\vec u\) и \(\vec v\) неколлинеарны, коэффициент при \(\vec v\) даёт \(k=0\), но тогда равенство стало бы \(-\vec u=\vec0\), что невозможно.

Б) \(\overrightarrow{MC}=C-M=\frac34(\vec u+\vec v)\), \(\overrightarrow{CD}=-\vec u\), \(\overrightarrow{NC}=C-N=\frac12\vec u+\vec v\). Правая часть равенства равна \((\frac12-k)\vec u+\vec v\). Сравнение коэффициентов при независимых векторах даёт одновременно \(\frac34=\frac12-k\) и \(\frac34=1\); второе равенство невозможно.

Ответ: в обоих случаях подходящего числа \(k\) не существует.