2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ являются серединами отрезков AO, BO, CO и DO соответственно. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ также является ромбом.

Рассмотрим треугольник AOB. Точки A₁ и B₁ — середины сторон AO и BO, поэтому по теореме о средней линии \(A₁B₁=\frac{AB}{2}\).

Аналогично, в треугольниках BOC, COD и DOA:

\(B₁C₁=\frac{BC}{2},\quad C₁D₁=\frac{CD}{2},\quad D₁A₁=\frac{DA}{2}.\)

У ромба все стороны равны: \(AB=BC=CD=DA\). Следовательно, \(A₁B₁=B₁C₁=C₁D₁=D₁A₁\). Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Доказано: A₁B₁C₁D₁ — ромб.