2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Точки A₁, B₁, C₁ и D₁ являются серединами отрезков AO, BO, CO и DO соответственно. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ также является ромбом.

В ромбе противоположные стороны параллельны, а все стороны равны.

1. В треугольнике AOB точки A₁ и B₁ — середины AO и BO. По теореме о средней линии A₁B₁ ∥ AB и A₁B₁ = AB/2.
2. Аналогично, в треугольнике BOC: B₁C₁ ∥ BC и B₁C₁ = BC/2. В треугольнике COD: C₁D₁ ∥ CD и C₁D₁ = CD/2. В треугольнике DOA: D₁A₁ ∥ DA и D₁A₁ = DA/2.
3. Так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, получаем A₁B₁ ∥ C₁D₁ и B₁C₁ ∥ D₁A₁. Значит, A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.
4. Поскольку AB = BC = CD = DA, имеем A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — ромб.