2. Диаметр шара равен 4см. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Решение:

1. Радиус шара \( R = \frac{D}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см} \).
2. Плоскость, проведённая под углом \( \alpha = 45^{\circ} \) к диаметру, отсекает от шара сегмент. Расстояние от центра шара до этой плоскости равно \( d = R \cdot \cos(45^{\circ}) \), где \( R \) — радиус шара.
3. Так как плоскость проведена через конец диаметра, то расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара \( R = 2 \text{ см} \). В этом случае угол между диаметром и плоскостью равен \( 90^{\circ} \) (поскольку диаметр перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец и касательной к шару в этой точке). Условие, что угол равен 45°, означает, что плоскость не проходит через центр шара.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара \( R \), расстоянием от центра шара до плоскости \( d \) и радиусом сечения \( r \). По теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + r^2 \).
5. Угол между диаметром и плоскостью — это угол между диаметром и его проекцией на эту плоскость. Если плоскость образует угол \( \alpha = 45^{\circ} \) с диаметром, то расстояние от центра шара до плоскости \( d \) можно найти как \( d = R \cdot \sin(\alpha) \) или \( d = R \cdot \cos(\beta) \), где \( \beta \) — угол между нормалью к плоскости и диаметром. В данном случае, расстояние \( d \) от центра шара до плоскости равно \( d = R \cdot \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см} \).
6. Найдем радиус сечения \( r \): \( r^2 = R^2 - d^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \). Следовательно, \( r = \sqrt{2} \text{ см} \).
7. Площадь сечения шара равна площади круга с радиусом \( r \): \( S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi \text{ см}^2 \).

Ответ: \( 2\pi \text{ см}^2 \).