4. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если его боковая поверхность равна 182 л см², образующая – 13 см, а высота - 5 см.

Решение:

1. Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как \( R \) (больший радиус) и \( r \) (меньший радиус).
2. Высота усеченного конуса \( H = 5 \text{ см} \), образующая \( L = 13 \text{ см} \).
3. Боковая поверхность усеченного конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi (R + r) L \).
4. По условию \( S_{\text{бок}} = 182\pi \text{ см}^2 \).
5. Следовательно, \( \pi (R + r) \cdot 13 = 182\pi \).
6. Разделим обе части на \( 13\pi \): \( R + r = \frac{182\pi}{13\pi} = 14 \).
7. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Высота трапеции равна высоте конуса \( H = 5 \text{ см} \), боковая сторона равна образующей \( L = 13 \text{ см} \). Разность радиусов оснований равна \( R - r \).
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( H \), разностью радиусов \( R - r \) и образующей \( L \). По теореме Пифагора: \( L^2 = H^2 + (R - r)^2 \).
9. \( 13^2 = 5^2 + (R - r)^2 \).
10. \( 169 = 25 + (R - r)^2 \).
11. \( (R - r)^2 = 169 - 25 = 144 \).
12. \( R - r = \sqrt{144} = 12 \).
13. Теперь у нас есть система двух уравнений:

\( R + r = 14 \)

\( R - r = 12 \)

1. Сложим уравнения: \( (R + r) + (R - r) = 14 + 12 \) \( 2R = 26 \) \( R = 13 \text{ см} \).
2. Вычтем второе уравнение из первого: \( (R + r) - (R - r) = 14 - 12 \) \( 2r = 2 \) \( r = 1 \text{ см} \).

Ответ: Больший радиус \( R = 13 \text{ см} \), меньший радиус \( r = 1 \text{ см} \).