2. Доказать, что функция периодическая с периодом T: y = sin 2x, T = π

2. Доказательство периодичности функции:

Функция \( y = \sin(2x) \) является периодической. Периодом основной функции \( y = ⁡\sin(x) \) является \( 2\pi \). Период функции \( y = ⁡\sin(kx) \) равен \( \frac{2\pi}{|k|} \). В данном случае \( k = 2 \).

Период функции \( y = ⁡\sin(2x) \) равен \( T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi \).

Чтобы доказать, что \( T = \pi \) является периодом, нужно показать, что \( y(x + \pi) = y(x) \) для всех \( x \) из области определения.

\[ y(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) \]

По определению периодичности синуса, \( ⁡\sin(\alpha + 2\pi) = ⁡\sin(\alpha) \).

Следовательно, \( \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) \).

Таким образом, \( y(x + \pi) = \sin(2x) = y(x) \). Функция \( y = ⁡\sin(2x) \) периодическая с периодом \( T = \pi \).

Ответ: Доказано.