2) Доказать свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.

Доказательство:

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
2. Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \) и \( \angle B = \angle D \).
3. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180° \), \( \angle B + \angle C = 180° \), и т.д.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём диагональ AC. Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), так как:

• \( AC \) — общая сторона.
• \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
• \( \angle BCA = \angle CAD \) (накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).

Из равенства треугольников следует, что \( AB = CD \) и \( BC = AD \) (как соответствующие стороны равных треугольников). Также \( \angle ABC = \angle CDA \) (как соответствующие углы равных треугольников).

Углы \( \angle DAB \) и \( \angle BCD \) равны сумме углов \( \angle BAC + \angle CAD \) и \( \angle BCA + \angle ACD \) соответственно. Так как \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle CAD \), то \( \angle DAB = \angle BCD \).

Углы, прилежащие к одной стороне, например \( \angle A \) и \( \angle B \), являются односторонними углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Поэтому их сумма равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180° \).

Вывод: Свойства противоположных сторон и углов параллелограмма доказаны.