4) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Краткая запись:

• Угол между касательными = 60°
• Расстояние AO = 8
• Найти: Радиус окружности (r) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть точки касания будут B и C. Угол между касательными ∠BAC = 60°.
2. Шаг 2: Треугольник ABC равнобедренный (AB = AC как отрезки касательных, проведенных из одной точки). Следовательно, углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB = (180° - 60°) / 2 = 60°. Таким образом, треугольник ABC равносторонний, и AB = AC = BC.
3. Шаг 3: Треугольник OAB — прямоугольный, так как радиус OB перпендикулярен касательной AB.
4. Шаг 4: Угол ∠OAB равен половине угла ∠BAC, так как AO является биссектрисой угла между касательными. Следовательно, ∠OAB = 60° / 2 = 30°.
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике OAB, напротив угла в 30° лежит катет OB, который равен половине гипотенузы AO.
6. Шаг 6: OB = AO / 2 = 8 / 2 = 4.

Ответ: Радиус окружности равен 4.