2. Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть O — центр симметрии четырёхугольника ABCD. При центральной симметрии вершины переходят в противоположные вершины, поэтому диагонали AC и BD переходят сами в себя.

Центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего точку с её образом. Значит, O — середина и AC, и BD: диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.