2. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Зададим его вершины координатами \((0,0)\), \((a,0)\), \((a,b)\), \((0,b)\). Тогда векторы диагоналей можно записать как \((a,b)\) и \((-a,b)\).

Перпендикулярность диагоналей означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\( (a,b)\cdot(-a,b)=-a^2+b^2=0 \).

Отсюда \(a^2=b^2\). Поскольку длины сторон положительны, \(a=b\). Значит, прямоугольник имеет равные стороны, то есть является квадратом. Что и требовалось доказать.