2. Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона (теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника).

Доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника:

1. Докажем, что против большей стороны лежит больший угол.

1. Рассмотрим треугольник ABC, где сторона AC > AB.
2. Отложим на большей стороне AC отрезок AD, равный меньшей стороне AB (AD = AB).
3. Соединим точки B и D отрезком BD.
4. Треугольник ABD равнобедренный (AB = AD), поэтому углы при основании равны: ∠ ABD = ∠ ADB.
5. Угол ∠ ADB является внешним углом треугольника BDC. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Следовательно, ∠ ADB = ∠ DBC + ∠ DCB.
6. Из этого следует, что ∠ ADB > ∠ DBC (так как ∠ DCB > 0).
7. Так как ∠ ABD = ∠ ADB, то ∠ ABD > ∠ DBC.
8. Рассмотрим угол ∠ ABC. Он состоит из двух углов: ∠ ABD и ∠ DBC. Таким образом, ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC.
9. Из пунктов 5 и 6 следует, что ∠ ABC > ∠ DBC.
10. Также ∠ ABC > ∠ ABD.
11. Рассмотрим угол ∠ ACB (или ∠ DCB).
12. Угол ∠ BAC является углом треугольника ABC.
13. Угол ∠ ABC является смежным с углом ∠ ADB.
14. В треугольнике BDC, угол ∠ BDC является внешним углом, следовательно ∠ BDC > ∠ DBC и ∠ BDC > ∠ DCB.
15. ∠ ADB = ∠ BDC (как вертикальные углы, если AC и BD пересекаются). Но в данном случае AC и BD не обязательно пересекаются.
16. Рассмотрим ∠ BAC. Он меньше ∠ ADB (т.к. ∠ ADB - внешний угол ∠ ABC).
17. Из ∠ ADB > ∠ DBC и ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC, следует ∠ ABC > ∠ ADB.
18. Таким образом, ∠ ABC > ∠ BAC.
19. Что и требовалось доказать: против большей стороны AC лежит больший угол ∠ ABC.

2. Докажем, что против большего угла лежит большая сторона (обратно).

1. Предположим противное: пусть в треугольнике ABC угол ∠ C > ∠ A, но сторона AB > BC.
2. По доказанной теореме (пункт 1), против большей стороны AB должен лежать больший угол ∠ C.
3. Это означает, что ∠ C > ∠ A.
4. Если бы сторона AB была равна BC, то ∠ C = ∠ A, что противоречит условию.
5. Если бы сторона AB < BC, то ∠ C < ∠ A, что также противоречит условию.
6. Следовательно, единственно возможное условие — это AB > BC.
7. Что и требовалось доказать: против большего угла лежит большая сторона.