2. Докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулируйте обратное утверждение.

Свойство: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90° и ∠A = 30°. Тогда катет BC лежит против угла в 30°.
2. Проведем медиану CM к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: CM = AM = BM = 1/2 AB.
3. Рассмотрим треугольник BCM. Так как BM = CM, то треугольник BCM — равнобедренный.
4. Угол ∠MBC = ∠A = 30° (так как они являются накрест лежащими при параллельных BC и AM и секущей AB, но это не совсем корректно, лучше использовать свойство углов равнобедренного треугольника).
5. В равнобедренном треугольнике BCM, углы при основании равны: ∠MBC = ∠MCB = 30°.
6. Сумма углов в треугольнике BCM равна 180°. Следовательно, ∠BMC = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
7. Угол ∠ACB = 90°. Угол ∠MCB = 30°.
8. Рассмотрим треугольник AMC. Угол ∠MAC = 30°. Угол ∠AMC = 120° (смежный с ∠BMC).
9. Так как BM = CM, а BC = BM + MC, то BC = 2 * BM.
10. Так как BM = 1/2 AB, то BC = 2 * (1/2 AB) = AB.
11. Таким образом, катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AB.

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Доказательство обратного утверждения:

1. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) катет BC = 1/2 AB.
2. Построим точку D так, чтобы точка C была серединой отрезка BD. Тогда BC = CD = 1/2 BD.
3. Рассмотрим треугольник ABD. Медиана AC проведена к стороне BD и равна половине этой стороны (AC = 1/2 BD).
4. По свойству, обратному свойству медианы, треугольник ABD является прямоугольным, и угол ∠BAD = 90°.
5. Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный (∠C = 90°). BC = 1/2 AB.
6. Пусть ∠A = α. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC, sin(α) = BC/AB.
7. По условию BC = 1/2 AB, значит, sin(α) = (1/2 AB) / AB = 1/2.
8. Угол, синус которого равен 1/2, равен 30°. Следовательно, α = 30°.
9. Таким образом, если катет равен половине гипотенузы, то угол против него равен 30°.