2. Докажите теорему о свойствах средней линии треугольника: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Пусть MN — средняя линия треугольника ABC. Тогда M — середина AB, а N — середина BC. Докажем, что MN ∥ AC и MN = AC/2.

На прямой MN за точкой N отметим точку E так, что MN = NE, и соединим E с C.

Так как N — середина BC, то BN = NC. Углы MNB и CNE — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, MN = NE по построению. Следовательно, треугольники MBN и ECN равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем MB = EC и ∠MBN = ∠ECN. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и EC и секущей BC, значит, AB ∥ EC. Поскольку M и A лежат на AB, AM ∥ EC.

Так как M — середина AB, AM = MB. А поскольку MB = EC, получаем AM = EC. В четырёхугольнике AMEC противоположные стороны AM и EC равны и параллельны, поэтому AMEC — параллелограмм. Следовательно, ME ∥ AC и ME = AC.

По построению MN = NE, значит, N — середина ME и ME = 2MN. Поскольку ME = AC, получаем MN = AC/2.

Таким образом, MN ∥ AC и MN равна половине AC.