2. Геометрическая прогрессия задана условием bₙ = 40 · (-2)ⁿ. Найдите сумму первых четырёх её членов.

Решение:

У нас есть формула n-го члена геометрической прогрессии: bₙ = 40 · (-2)ⁿ.

Нам нужно найти сумму первых четырёх членов (S₄).

Сначала найдем первые четыре члена прогрессии:

• b₁: Подставим n=1. b₁ = 40 · (-2)¹ = 40 · (-2) = -80
• b₂: Подставим n=2. b₂ = 40 · (-2)² = 40 · 4 = 160
• b₃: Подставим n=3. b₃ = 40 · (-2)³ = 40 · (-8) = -320
• b₄: Подставим n=4. b₄ = 40 · (-2)⁴ = 40 · 16 = 640

Теперь найдем знаменатель прогрессии (q). Можно взять отношение любого члена к предыдущему:

\[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{160}{-80} = -2 \]

Или, заметив в формуле bₙ = 40 · (-2)ⁿ, мы видим, что знаменатель q = -2.

Теперь используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Подставим наши значения:

• b₁ = -80
• q = -2
• n = 4

\[ S_4 = \frac{-80((-2)^4 - 1)}{-2 - 1} \]

Вычислим (-2)⁴:

\[ (-2)^4 = 16 \]

Теперь подставим это значение обратно:

\[ S_4 = \frac{-80(16 - 1)}{-3} \]

\[ S_4 = \frac{-80(15)}{-3} \]

\[ S_4 = \frac{-1200}{-3} \]

Делим:

\[ S_4 = 400 \]

Ответ: 400