2. Хорда окружности равна 6√2 и стягивает дугу в 90°. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

Решение:

Пусть хорда \( AB = 6\sqrt{2} \) см, а центральный угол \( \alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \) радиан.

1. Найдём радиус окружности (R):
   Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Если центральный угол равен 90°, то этот треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора:
   \[ R^2 + R^2 = (6\sqrt{2})^2 \]
   \[ 2R^2 = 36 \cdot 2 \]
   \[ 2R^2 = 72 \]
   \[ R^2 = 36 \]
   \[ R = 6 \text{ см} \]
2. Найдём длину дуги:
   Длина дуги вычисляется по формуле:
   \[ L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \] или \( L = R \alpha \) (в радианах).
   \[ L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}} = 3 \pi \text{ см} \]
3. Найдём площадь сектора:
   Площадь сектора вычисляется по формуле:
   \[ S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} \] или \( S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \alpha \) (в радианах).
   \[ S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 90}{360} = 9 \pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Длина дуги равна 3π см, площадь сектора равна 9π см².