3. Окружность описана около правильного шестиугольника со стороной 6 см. Найдите площадь сектора, соответствующего центральному углу шестиугольника, и площадь меньшей части круга, на которые его делит сторона шестиугольника.

Решение:

Пусть дан правильный шестиугольник со стороной \( a = 6 \) см. Окружность описана около этого шестиугольника.

1. Радиус описанной окружности (R):
   У правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности.
   \[ R = a = 6 \text{ см} \]
2. Центральный угол шестиугольника:
   Центральный угол правильного n-угольника равен \( \frac{360^{\circ}}{n} \). Для шестиугольника (n=6):
   \[ \alpha = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} \]
3. Площадь сектора:
   Площадь сектора, соответствующего центральному углу, вычисляется по формуле:
   \[ S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} \]
   \[ S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 60}{360} = 6 \pi \text{ см}^2 \]
4. Площадь меньшей части круга:
   Сторона правильного шестиугольника делит круг на сектор (который мы нашли) и сегмент. Площадь сегмента (меньшей части круга) равна площади сектора минус площадь треугольника, образованного стороной шестиугольника и двумя радиусами.
   Площадь треугольника:
   \[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) \]
   \[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
5. Площадь меньшей части круга (сегмента):
   \[ S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} \]
   \[ S_{сегмента} = 6 \pi - 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь сектора равна 6π см², площадь меньшей части круга равна (6π - 9√3) см².