2. Из вершин B и D параллелограмма ABCD провели перпендикуляры BM и DK к диагонали AC. Известно, что ∠BKC=150°, BM=24. Найдите периметр четырёхугольника BKDM.

Так как BM и DK перпендикулярны одной и той же прямой AC, то \(BM\parallel DK\). В параллелограмме проекции вершин B и D на диагональ AC симметричны относительно середины диагонали, поэтому \(BM=DK=24\), а \(KM=MD\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKM. Угол между лучами KB и KC равен \(150^\circ\), поэтому угол между KB и KM равен \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\).

В треугольнике BKM:

\(\sin 30^\circ=\frac{BM}{BK}\).

Тогда \(BK=\frac{24}{\sin30^\circ}=\frac{24}{0.5}=48\). Однако при таком прочтении угол между KB и KM должен быть острым, а из положения точек на диагонали следует, что нужный катет соответствует углу \(60^\circ\). Поэтому:

\(\cos150^\circ=\frac{KM}{BK}\), откуда \(KM=BK\cdot\frac{\sqrt3}{2}\), а по теореме Пифагора при \(BM=24\) получаем \(BK=16\), \(KM=8\sqrt3\).

Аналогично \(DK=24\), \(DM=BK=16\), \(MB=24\).

Периметр четырёхугольника:

\(P_{BKDM}=BK+KD+DM+MB=16+24+16+24=80\).

Ответ: 80.