2. Какое наибольшее число квадратников можно закрасить так, чтобы никакие два закрашенных квадратника не имели общей стороны? Докажи.

На рисунке 12 квадратников: 6 в горизонтальном ряду и ещё по 3 сверху и снизу. Выберем квадратники, чередуя их в горизонтальном ряду. В каждой из четырёх боковых клеток при этом можно закрасить не более двух, а в верхней и нижней клетках над/под центральными частями — не более одной в каждой. Подходящий набор из 6 клеток получается, например, если закрасить через одну клетки длинного ряда и не закрашивать соседние вертикальные клетки.

Докажем, что больше 6 нельзя. Разобьём фигуру на шесть пар соседних по стороне клеток, так чтобы каждая клетка входила ровно в одну пару. Из каждой пары можно закрасить не более одной клетки. Значит, всего можно закрасить не более шести.

Ответ: 6 квадратников.