2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠BAC = 68° (рис. 2). Найдите ∠OCB.

Решение:

• Так как АВ и АС — касательные к окружности, то радиусы ОВ и ОС перпендикулярны касательным в точках касания.
• Следовательно, ∠ABO = ∠ACO = 90°.
• Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• ∠BOC + ∠ABO + ∠ACO + ∠BAC = 360°.
• ∠BOC + 90° + 90° + 68° = 360°.
• ∠BOC + 248° = 360°.
• ∠BOC = 360° - 248° = 112°.
• Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы окружности), следовательно, треугольник OBC — равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OBC = ∠OCB.
• Сумма углов в треугольнике OBC равна 180°.
• ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°.
• 112° + ∠OCB + ∠OCB = 180°.
• 112° + 2∠OCB = 180°.
• 2∠OCB = 180° - 112°.
• 2∠OCB = 68°.
• ∠OCB = 68° / 2 = 34°.

Ответ: 34°