2. На сторонах AB, BC, CD и AD ромба ABCD взяты точки P, K, H, M соответственно. Каждая из прямых PM и KH параллельна одной из осей симметрии ромба. Диагональ AC пересекает отрезок PM в точке E, а отрезок KH в точке T. а) Докажите, что диагонали четырёхугольника EKHT равны. б) Определите вид четырёхугольника MPKH.

В условии не уточнено, какая из двух осей симметрии параллельна PM, а какая — KH. При обычном прочтении, когда PM и KH параллельны разным осям симметрии, требуемое в пункте а) утверждение в общем случае неверно.

Например, рассмотрим квадрат с вершинами A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). Возьмём M(0,0.2), P(0.2,0), K(1,0.4), H(0.6,1). Тогда PM параллелен диагонали BD, а KH — диагонали AC; все четыре точки лежат на соответствующих сторонах. Точки пересечения с AC — E(0.1,0.1) и T(0.8,0.8). Диагонали четырёхугольника EKHT — EH и KT — имеют длины, соответственно, √(0.5²+0.9²) и √(0.2²+0.6²), то есть не равны.

Следовательно, по приведённому условию доказать пункт а) нельзя: возможно, в обозначении четырёхугольника или в условии о параллельности есть опечатка. При этом в примере MPKH — параллелограмм, но вид четырёхугольника для произвольных положений точек без дополнительного условия однозначно не определяется.