3. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка M так, что DM = DC. а) Докажите, что CM — биссектриса угла C параллелограмма. б) Найдите периметр параллелограмма, если AB = 8,5 см, AM = 3,5 см.

а) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC и AB = DC. Из условия DM = DC получаем DM = AB.

Так как AD ∥ BC и DM лежит на AD, то DM ∥ BC. Кроме того, DM = BC. Следовательно, четырёхугольник DMCB — параллелограмм, а значит, CM ∥ DB.

Угол между CM и CB равен углу между DB и DA, поскольку CM ∥ DB и CB ∥ DA. В треугольнике ABD стороны AB и BD равны: AB = DC = DM, а DB — диагональ параллелограмма. Следовательно, утверждение о равенстве AB и BD не следует из условия; приведённых данных недостаточно, чтобы доказать, что CM делит угол C пополам.

б) По данным пункта б) DC = AB = 8,5 см. По условию DM = DC, значит, DM = 8,5 см. Поскольку M лежит на стороне AD, имеем AD = AM + MD = 3,5 + 8,5 = 12 см.

Периметр параллелограмма:

P = 2(AB + AD) = 2(8,5 + 12) = 41 см.

Ответ: а) утверждение не следует из приведённых условий; б) 41 см.