2. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что BP:PC=1:4; CQ=QD. Выразите векторы AP, BA, BQ через \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Положим начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{BC}=\vec b\) и \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\).

1. Так как \(BP:PC=1:4\), точка P делит BC в отношении 1 к 4, поэтому \(\overrightarrow{BP}=\frac{1}{5}\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\vec a+\frac{1}{5}\vec b\).

2. При смене направления вектора получаем \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec a\).

3. Из \(CQ=QD\) следует, что Q — середина CD, поэтому \(\overrightarrow{CQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\vec a\). Следовательно, \(\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CQ}=\vec b-\frac{1}{2}\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac{1}{5}\vec b\); \(\overrightarrow{BA}=-\vec a\); \(\overrightarrow{BQ}=-\frac{1}{2}\vec a+\vec b\).