2. На стороне AD квадрата ABCD лежит точка K так, что AK = KD; O — точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\) векторы: \(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BK}, \overrightarrow{KA}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{AK}, \overrightarrow{KB}\).

Положим начало в точке B. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

Так как O — середина диагонали BD, \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\). Также \(\overrightarrow{OD}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

K — середина AD. От A до D направлен вектор \(\vec y\), поэтому \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec y\), а \(\overrightarrow{BK}=\vec x+\frac12\vec y\). Следовательно, \(\overrightarrow{KA}=-\frac12\vec y\), а \(\overrightarrow{KB}=-\vec x-\frac12\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BK}=\vec x+\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{KA}=-\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{OD}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{KB}=-\vec x-\frac12\vec y\).