2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка K так, что AB = BK. а) Докажите, что AK — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 12 см, CK = 3 см.

а) Так как AB ∥ CD и AD ∥ BC, имеем ∠BAK = ∠AKB: это накрест лежащие углы при AB ∥ CD? Точнее, BK лежит на BC, поэтому ∠ABK — угол между AB и BC, а ∠BAD — между BA и AD. Поскольку BK ∥ AD, ∠BAK = ∠AKD; из AB = BK треугольник ABK равнобедренный, значит ∠BAK = ∠AKB. Следовательно, ∠AKB = ∠BAD? Уточним: ∠AKB образован KA и KB, где KB ∥ AD, поэтому ∠AKB = ∠KAD. Значит, ∠BAK = ∠KAD, и AK — биссектриса ∠BAD.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = 12 см. По условию BK = AB = 12 см, значит BC = BK + CK = 12 + 3 = 15 см.

Тогда периметр равен \(P=2(AB+BC)=2(12+15)=54\) см.

Ответ: 54 см.