2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что CP:PD=1:3, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Пусть сторона квадрата равна \(s\). Тогда \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\) — перпендикулярные векторы одинаковой длины.

1. Диагонали квадрата пересекаются пополам, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\vec x+\frac{1}{2}\vec y\).
2. Из отношения \(CP:PD=1:3\) следует, что \(\overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}\). В квадрате \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\vec x\). Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\vec y+\frac{1}{4}\vec x\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BP}+\vec x=\frac{3}{4}\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\vec x+\frac{1}{2}\vec y\); \(\overrightarrow{BP}=\frac{1}{4}\vec x+\vec y\); \(\overrightarrow{PA}=\frac{3}{4}\vec x-\vec y\).