№2. Найдите корень уравнения: 1) cos(π(2x-1)/3) = 1/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень. 2) sin(π(2x+1)/4) = √2/2. В ответе напишите наибольший отрицательный корень. 3) tg(π(2x-1)/3) = √3. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

1. Уравнение cos(π(2x-1)/3) = 1/2:

• Общее решение для \cos(α) = 1/2: α = ±π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
• Приравниваем аргумент косинуса к общему решению:
• π(2x-1)/3 = π/3 + 2πk или π(2x-1)/3 = -π/3 + 2πk
• Сокращаем на π:
• (2x-1)/3 = 1/3 + 2k или (2x-1)/3 = -1/3 + 2k
• Умножаем на 3:
• 2x-1 = 1 + 6k или 2x-1 = -1 + 6k
• Решаем относительно x:
• 2x = 2 + 6k => x = 1 + 3k
• 2x = 6k => x = 3k

Нам нужен наибольший отрицательный корень. Проверим значения при разных k:

• Если x = 1 + 3k:
• k = -1 => x = 1 + 3(-1) = 1 - 3 = -2
• k = -2 => x = 1 + 3(-2) = 1 - 6 = -5
• Если x = 3k:
• k = -1 => x = 3(-1) = -3
• k = -2 => x = 3(-2) = -6

Наибольший отрицательный корень из {-2, -5, -3, -6} равен -2.

2. Уравнение sin(π(2x+1)/4) = √2/2:

• Общее решение для \sin(α) = √2/2: α = π/4 + 2πk или α = 3π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
• Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
• π(2x+1)/4 = π/4 + 2πk или π(2x+1)/4 = 3π/4 + 2πk
• Сокращаем на π/4:
• 2x+1 = 1 + 8k или 2x+1 = 3 + 8k
• Решаем относительно x:
• 2x = 8k => x = 4k
• 2x = 2 + 8k => x = 1 + 4k

Нам нужен наибольший отрицательный корень. Проверим значения при разных k:

• Если x = 4k:
• k = -1 => x = 4(-1) = -4
• k = -2 => x = 4(-2) = -8
• Если x = 1 + 4k:
• k = -1 => x = 1 + 4(-1) = 1 - 4 = -3
• k = -2 => x = 1 + 4(-2) = 1 - 8 = -7

Наибольший отрицательный корень из {-4, -8, -3, -7} равен -3.

3. Уравнение tg(π(2x-1)/3) = √3:

• Общее решение для \tg(α) = √3: α = π/3 + πk, где k ∈ Z.
• Приравниваем аргумент тангенса к общему решению:
• π(2x-1)/3 = π/3 + πk
• Сокращаем на π:
• (2x-1)/3 = 1/3 + k
• Умножаем на 3:
• 2x-1 = 1 + 3k
• Решаем относительно x:
• 2x = 2 + 3k
• x = 1 + (3/2)k

Нам нужен наименьший положительный корень. Проверим значения при разных k:

• k = 0 => x = 1 + (3/2)*0 = 1
• k = 1 => x = 1 + (3/2)*1 = 1 + 1.5 = 2.5
• k = -1 => x = 1 + (3/2)*(-1) = 1 - 1.5 = -0.5

Наименьший положительный корень из {1, 2.5, -0.5} равен 1.

Ответ:

1. -2
2. -3
3. 1