2. Найдите наибольшее целое решение неравенства: ³ + 2x² - 9x - 18 < 0;

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 \). Для нахождения наибольшего целого решения неравенства \( f(x) < 0 \) сначала найдём корни уравнения \( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0 \).

Разложим многочлен на множители методом группировки:

\( (x^3 + 2x^2) + (-9x - 18) = 0 \)

\( x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0 \)

\( (x^2 - 9)(x + 2) = 0 \)

\( (x - 3)(x + 3)(x + 2) = 0 \)

Корни уравнения: \( x = 3, x = -3, x = -2 \).

Теперь определим знаки функции \( f(x) \) на интервалах, образованных корнями:

• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( (4-3)(4+3)(4+2) = 1 \cdot 7 \cdot 6 = 42 > 0 \)
• При \( -2 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0-3)(0+3)(0+2) = (-3) \cdot 3 \cdot 2 = -18 < 0 \)
• При \( -3 < x < -2 \) (например, \( x = -2.5 \)): \( (-2.5-3)(-2.5+3)(-2.5+2) = (-5.5)(0.5)(-0.5) = 1.375 > 0 \)
• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4-3)(-4+3)(-4+2) = (-7)(-1)(-2) = -14 < 0 \)

Неравенство \( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 < 0 \) выполняется на промежутках \( (-\infty; -3) \cup (-2; 3) \).

Наибольшее целое число в этих промежутках — это \( 2 \) (из промежутка \( (-2; 3) \)).

Ответ: 2