Решите систему неравенств: { x² - x - 2 < 0, 5 - 2x < 0 }

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. \( x^2 - x - 2 < 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - x - 2 \). Приравняем к нулю: \( x^2 - x - 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \).

\( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).

Так как парабола \( y = x^2 - x - 2 \) имеет ветви, направленные вверх, неравенство \( x^2 - x - 2 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 2 \).

2. \( 5 - 2x < 0 \)

Решим линейное неравенство:

\( -2x < -5 \)

Разделим обе части на \( -2 \) и изменим знак неравенства:

\( x > \frac{-5}{-2} \)

\( x > 2.5 \)

3. Общее решение системы

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

• Первое неравенство: \( -1 < x < 2 \)
• Второе неравенство: \( x > 2.5 \)

Нет значений \( x \), которые одновременно удовлетворяют условиям \( -1 < x < 2 \) и \( x > 2.5 \).

Ответ: Решений нет.