2. Найдите наибольшее целое решение неравенства: x³ + 2x² - 9x - 18 < 0;

Решение:

Разложим многочлен \( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 \) на множители методом группировки:

\[ x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x^2 - 9)(x + 2) = (x - 3)(x + 3)(x + 2) \]

Теперь решим неравенство \( (x - 3)(x + 3)(x + 2) < 0 \) методом интервалов.

Корни уравнения \( (x - 3)(x + 3)(x + 2) = 0 \) равны: \( x = 3, x = -3, x = -2 \).

Эти корни разбивают числовую ось на четыре интервала:

• \( (-\infty, -3) \): выберем \( x = -4 \). \( (-4-3)(-4+3)(-4+2) = (-7)(-1)(-2) = -14 < 0 \).
• \( (-3, -2) \): выберем \( x = -2.5 \). \( (-2.5-3)(-2.5+3)(-2.5+2) = (-5.5)(0.5)(-0.5) = 1.375 > 0 \).
• \( (-2, 3) \): выберем \( x = 0 \). \( (0-3)(0+3)(0+2) = (-3)(3)(2) = -18 < 0 \).
• \( (3, \infty) \): выберем \( x = 4 \). \( (4-3)(4+3)(4+2) = (1)(7)(6) = 42 > 0 \).

Неравенство \( < 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (-2, 3) \).

Нас интересует наибольшее целое решение. В интервале \( (-2, 3) \) наибольшим целым числом является \( 2 \).

Ответ: 2.