2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

• Объём правильной четырёхугольной пирамиды (V) вычисляется по формуле: V = (1/3) * Sосн * h, где Sосн — площадь основания, а h — высота пирамиды.
• Основание — квадрат. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда Sосн = a².
• В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро (l = 12 см) образует с плоскостью основания угол 45°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), половиной диагонали основания (d/2) и боковым ребром (l). Угол между боковым ребром и основанием — 45°.
• В этом треугольнике: cos(45°) = (d/2) / l.
• d/2 = l * cos(45°) = 12 * (√2 / 2) = 6√2 см.
• Диагональ квадрата d = 2 * (d/2) = 12√2 см.
• Сторона квадрата a связана с диагональю формулой d = a√2.
• a = d / √2 = (12√2) / √2 = 12 см.
• Площадь основания: Sосн = a² = 12² = 144 см².
• Теперь найдём высоту h. В том же прямоугольном треугольнике: sin(45°) = h / l.
• h = l * sin(45°) = 12 * (√2 / 2) = 6√2 см.
• Вычисляем объём пирамиды: V = (1/3) * Sосн * h = (1/3) * 144 см² * 6√2 см = 48 * 6√2 см³ = 288√2 см³.

Ответ: 288√2 см³