2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями, равными 12 см и 16 см.

Дано:

• Ромб ABCD.
• Диагональ d1 = AC = 12 см.
• Диагональ d2 = BD = 16 см.
• Вписанный круг.

Найти:

• Площадь круга (S).

Решение:

1. Свойства ромба:
   Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
2. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда AO = OC = 12/2 = 6 см, BO = OD = 16/2 = 8 см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (a):
\[ a^2 = AO^2 + BO^2 \]
\[ a^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ a^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ a = \sqrt{100} = 10 \text{ см.} \]
4. Связь площади ромба и вписанного круга:
   Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:
\[ S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96 \text{ см}^2. \]
5. Площадь ромба также равна произведению его стороны на высоту (h):
\[ S_{ромба} = a \times h \]
\[ 96 = 10 \times h \]
\[ h = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ см.} \]
6. Для вписанного круга в ромб, его диаметр (d) равен высоте ромба:
\[ d = h = 9.6 \text{ см.} \]
7. Радиус вписанного круга (r) равен половине диаметра:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8 \text{ см.} \]
8. Площадь круга вычисляется по формуле:
\[ S_{круга} = \pi r^2 \]
\[ S_{круга} = \pi (4.8)^2 \]
\[ S_{круга} = \pi \times 23.04 \]

Ответ: Площадь круга равна 23.04π см².