Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2. Найдите стороны и углы треугольника АВС, если ∠B = 45°, ∠C = 60°, BC = √3 см.
Ответ:
Краткое пояснение: Для нахождения сторон и углов треугольника используем теорему синусов и сумму углов треугольника.
Пошаговое решение:
- Находим угол ∠A: Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} \).
- Находим сторону AC: По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \). \( AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ})}{\sin(75^{\circ})} \). \( \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \( \sin(75^{\circ}) = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). \( AC = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2(6 - \sqrt{12})}{6 - 2} = \frac{2(6 - 2\sqrt{3})}{4} = \frac{12 - 4\sqrt{3}}{4} = 3 - \sqrt{3} \) см.
- Находим сторону AB: По теореме синусов: \( \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \). \( AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin(60^{\circ})}{\sin(75^{\circ})} \). \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( AB = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{6(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \) см.
Ответ: ∠A = 75°, AC = 3 - √3 см, AB = (3(√6 - √2))/2 см.
Похожие
