2. Найдите значение выражения: a) 125⁻¹ · 25²; б) 16⁻³ · 4⁶; в) (6²)⁶ : 6¹⁴; г) 12⁰ : (12⁻¹)²; д) (2³ )⁵ · (2⁻⁶)² / 4²; е) (3⁻²)³ · 9⁴ / (3³)².

Решение:

Для нахождения значений выражений приведем числа к одному основанию, где это возможно, и применим свойства степеней.

а) \( 125^{-1} \cdot 25^2 \)

1. Представим числа как степени числа 5: \( 125 = 5^3 \), \( 25 = 5^2 \).
2. Подставим в выражение: \( (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2 \).
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4 \).
4. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 5^{-3+4} = 5^1 = 5 \).

б) \( 16^{-3} \cdot 4^6 \)

1. Представим числа как степени числа 4: \( 16 = 4^2 \).
2. Подставим в выражение: \( (4^2)^{-3} \cdot 4^6 \).
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 4^{2 \cdot (-3)} \cdot 4^6 = 4^{-6} \cdot 4^6 \).
4. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 4^{-6+6} = 4^0 = 1 \).

в) \( (6^2)^6 : 6^{14} \)

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 6^{2 \cdot 6} : 6^{14} = 6^{12} : 6^{14} \).
2. Применим свойство степени \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( 6^{12-14} = 6^{-2} \).
3. Представим отрицательный показатель степени: \( 6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \).

г) \( 12^0 : (12^{-1})^2 \)

1. Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1: \( 12^0 = 1 \).
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (12^{-1})^2 = 12^{-1 \cdot 2} = 12^{-2} \).
3. Выражение становится: \( 1 : 12^{-2} \).
4. Применим свойство степени \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( 12^{0 - (-2)} = 12^2 = 144 \).

д) \( \frac{(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2}{4^2} \)

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) в числителе: \( \frac{2^{3 \cdot 5} \cdot 2^{-6 \cdot 2}}{4^2} = \frac{2^{15} \cdot 2^{-12}}{4^2} \).
2. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \( \frac{2^{15+(-12)}}{4^2} = \frac{2^3}{4^2} \).
3. Представим 4 как степень 2: \( 4 = 2^2 \).
4. Подставим: \( \frac{2^3}{(2^2)^2} \).
5. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( \frac{2^3}{2^{2 \cdot 2}} = \frac{2^3}{2^4} \).
6. Применим свойство степени \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \).

е) \( \frac{(3^{-2})^3 \cdot 9^4}{(3^3)^2} \)

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) в числителе и знаменателе: \( \frac{3^{-2 \cdot 3} \cdot 9^4}{3^{3 \cdot 2}} = \frac{3^{-6} \cdot 9^4}{3^6} \).
2. Представим 9 как степень 3: \( 9 = 3^2 \).
3. Подставим: \( \frac{3^{-6} \cdot (3^2)^4}{3^6} \).
4. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( \frac{3^{-6} \cdot 3^{2 \cdot 4}}{3^6} = \frac{3^{-6} \cdot 3^8}{3^6} \).
5. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \( \frac{3^{-6+8}}{3^6} = \frac{3^2}{3^6} \).
6. Применим свойство степени \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( 3^{2-6} = 3^{-4} \).
7. Представим отрицательный показатель степени: \( 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \).

Ответ: а) 5; б) 1; в) \( \frac{1}{36} \); г) 144; д) \( \frac{1}{2} \); е) \( \frac{1}{81} \).