Для работы в парах. Зная, что m — целое число, сократите дробь: a) 25^m / 5^(2m-1); б) 6^m / (2^(m-1) · 3^(m+1)).

Решение:

Для сокращения дробей преобразуем числитель и знаменатель так, чтобы они имели одинаковые основания степеней.

а) \( \frac{25^m}{5^{2m-1}} \)

1. Представим 25 как степень 5: \( 25 = 5^2 \).
2. Подставим в числитель: \( \frac{(5^2)^m}{5^{2m-1}} \).
3. Применим свойство степени \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \): \( \frac{5^{2 \cdot m}}{5^{2m-1}} = \frac{5^{2m}}{5^{2m-1}} \).
4. Применим свойство степени \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \): \( 5^{2m - (2m-1)} = 5^{2m - 2m + 1} = 5^1 = 5 \).

б) \( \frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} \)

1. Представим 6 как произведение 2 и 3: \( 6 = 2 \cdot 3 \).
2. Подставим в числитель: \( \frac{(2 \cdot 3)^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} \).
3. Применим свойство степени \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \): \( \frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}} \).
4. Разделим степени с одинаковыми основаниями: \( \frac{2^m}{2^{m-1}} \) и \( \frac{3^m}{3^{m+1}} \).
5. Применим свойство степени \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \): \( 2^{m - (m-1)} \cdot 3^{m - (m+1)} = 2^{m-m+1} \cdot 3^{m-m-1} = 2^1 \cdot 3^{-1} \).
6. Представим отрицательный показатель степени: \( 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Ответ: а) 5; б) \( \frac{2}{3} \).