2. Найти интегралы:

Решение:

1. Первый интеграл: \( \int (5\cos(3x) + 3\sin(2x+6) + e^{-5x}) dx \)
   Разобьем интеграл на три части:
   \( \int 5\cos(3x) dx = 5 \int \cos(3x) dx = 5 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) + C_1 = \frac{5}{3}\sin(3x) + C_1 \)
   \( \int 3\sin(2x+6) dx = 3 \int \sin(2x+6) dx = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos(2x+6)\right) + C_2 = -\frac{3}{2}\cos(2x+6) + C_2 \)
   \( \int e^{-5x} dx = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C_3 \)
   Итого: \( \int (5\cos(3x) + 3\sin(2x+6) + e^{-5x}) dx = \frac{5}{3}\sin(3x) - \frac{3}{2}\cos(2x+6) - \frac{1}{5}e^{-5x} + C \)
2. Второй интеграл: \( \int (x + 2x^5 + 4)(\sqrt{x} + x^6) dx \)
   Раскроем скобки:
   \( (x + 2x^5 + 4)(\sqrt{x} + x^6) = x\sqrt{x} + x^7 + 2x^5\sqrt{x} + 2x^{11} + 4\sqrt{x} + 4x^6 \)
   Перепишем \( \sqrt{x} = x^{1/2} \):
   \( x^{3/2} + x^7 + 2x^{11/2} + 2x^{11} + 4x^{1/2} + 4x^6 \)
   Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:
   \( \int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2} \)
   \( \int x^7 dx = \frac{x^8}{8} \)
   \( \int 2x^{11/2} dx = 2 \frac{x^{13/2}}{13/2} = \frac{4}{13}x^{13/2} \)
   \( \int 2x^{11} dx = 2 \frac{x^{12}}{12} = \frac{1}{6}x^{12} \)
   \( \int 4x^{1/2} dx = 4 \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3}x^{3/2} \)
   \( \int 4x^6 dx = 4 \frac{x^7}{7} = \frac{4}{7}x^7 \)
   Итого: \( \int (x + 2x^5 + 4)(\sqrt{x} + x^6) dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{1}{8}x^8 + \frac{4}{13}x^{13/2} + \frac{1}{6}x^{12} + \frac{8}{3}x^{3/2} + \frac{4}{7}x^7 + C \)

Ответ: 1) \( \frac{5}{3}\sin(3x) - \frac{3}{2}\cos(2x+6) - \frac{1}{5}e^{-5x} + C \); 2) \( \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{1}{8}x^8 + \frac{4}{13}x^{13/2} + \frac{1}{6}x^{12} + \frac{8}{3}x^{3/2} + \frac{4}{7}x^7 + C \).