3. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х, у=2х, х=2.

Решение:

Фигура ограничена тремя прямыми: \( y = 3x \), \( y = 2x \) и \( x = 2 \).

Найдем точки пересечения прямых:

• Пересечение \( y = 3x \) и \( y = 2x \): \( 3x = 2x \Rightarrow x = 0 \). Точка пересечения: \( (0,0) \).
• Пересечение \( y = 3x \) и \( x = 2 \): \( y = 3 \cdot 2 = 6 \). Точка пересечения: \( (2,6) \).
• Пересечение \( y = 2x \) и \( x = 2 \): \( y = 2 \cdot 2 = 4 \). Точка пересечения: \( (2,4) \).

Площадь фигуры можно найти как разность площадей двух треугольников или как интеграл разности функций.

Способ 1: Интегрирование

Площадь \( S \) равна интегралу от разности функций \( y = 3x \) и \( y = 2x \) на отрезке от \( x = 0 \) до \( x = 2 \).

\[ S = \int_{0}^{2} (3x - 2x) dx = \int_{0}^{2} x dx \]\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2 \]Способ 2: Площадь треугольника

Фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках \( (0,0) \), \( (2,4) \), \( (2,6) \).

Можно рассматривать как разность площадей двух треугольников:

• Площадь большего треугольника (ограниченного \( y = 3x \), \( x = 2 \), \( y = 0 \)): \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6 \)
• Площадь меньшего треугольника (ограниченного \( y = 2x \), \( x = 2 \), \( y = 0 \)): \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \)
• Искомая площадь: \( S = S_1 - S_2 = 6 - 4 = 2 \)

Ответ: Площадь фигуры равна 2.