2. Окружность с центром О, АВ и АС - касательные. Найди неизвестные стороны и углы:

Решение:

Первый рисунок:

• AB - касательная, OB - радиус. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол OBA = 90°.
• В треугольнике OAB: угол AOB = 180° - 90° - 30° = 60°.
• По теореме Пифагора: OB² + AB² = OA². OB = r.
• Так как OB = OA * sin(30°) = r, то OA = r / sin(30°) = r / 0.5 = 2r.
• AB = OA * cos(30°) = 2r * (√3 / 2) = r√3.
• Угол AOB = 60°.

Второй рисунок:

• AC - касательная, OC - радиус. Угол OСA = 90°.
• Угол AOC = 180° - 90° - ?
• В треугольнике AOC: OA = OC / sin(угол OCA).
• OA = r / sin(90°) = r.
• AC = OA * cos(90°) = 0.
• Это противоречит рисунку. По всей видимости, угол, обозначенный как 20°, является углом между касательной AC и радиусом OC, что невозможно. Либо 20° — это угол AOC.
• Если угол AOC = 20°, то угол OAC = 180° - 90° - 20° = 70°.

Третий рисунок:

• AB - касательная, OB - радиус. Угол OBA = 90°.
• В треугольнике OAB: угол OAB = 180° - 90° - 30° = 60°.
• OA = OB / sin(30°) = r / 0.5 = 2r.
• AB = OA * cos(30°) = 2r * (√3 / 2) = r√3.
• Угол AOB = 60°.

Четвертый рисунок:

• AB - касательная, OB - радиус. Угол OBA = 90°.
• Угол OAB = 28°.
• В треугольнике OAB: угол AOB = 180° - 90° - 28° = 62°.
• OA = OB / sin(28°) = r / sin(28°).
• AB = OA * cos(28°) = (r / sin(28°)) * cos(28°) = r * ctg(28°).
• Угол AOB = 62°.

Примечание: Вторая задача (второй рисунок) не имеет однозначного решения из-за некорректного обозначения угла. Предполагая, что 20° — это угол AOC, решение найдено.