№ 2. Определи возможное расположение четвертой вершины параллелограмма, если на координатной плоскости заданы три точки A(1;1), B(4;2), C(5;5). Вычисли длины сторон AB и AD.

Без уточнения порядка вершин A, B, C возможны три параллелограмма: заданные точки могут быть тремя последовательными вершинами либо одна из них может быть противоположной двум другим. Для каждой конфигурации четвёртая вершина находится по правилу сложения векторов.

1. Если A, B, C — последовательные вершины, то D = A + C − B = (1 + 5 − 4; 1 + 5 − 2) = (2; 4). Тогда AB = √((4 − 1)² + (2 − 1)²) = √10, а AD = √((2 − 1)² + (4 − 1)²) = √10.
2. Если A — вершина, противоположная C, то четвёртая вершина D = A + C − B = (2; 4), но порядок вершин следует взять A–B–C–D; в таком порядке противоположными являются A и C, а длина стороны AD равна √10. (Это та же геометрическая конфигурация, что и в первом пункте.)
3. Если B — вершина, противоположная A, то четвёртая вершина D = A + B − C = (0; −2). Тогда AB = √10, AD = √((0 − 1)² + (−2 − 1)²) = √10.
4. Если C — вершина, противоположная B, то четвёртая вершина D = B + C − A = (8; 6). Тогда AB = √10, AD = √((8 − 1)² + (6 − 1)²) = √74.

Первые две формулировки описывают одну и ту же конфигурацию, поэтому различных вариантов расположения три: D(2; 4), D(0; −2) или D(8; 6).

Ответ: AB = √10 во всех случаях; AD может быть √10 или √74 в зависимости от расположения вершин. Возможные координаты четвёртой вершины: (2; 4), (0; −2), (8; 6).