2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60°. Плоскость ADC1 составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите:

Задание 2. Параллелепипед (Ромб в основании)

Дано:

• Параллелепипед прямой ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Основание — ромб ABCD.
• Сторона ромба a.
• Угол ромба \( \angle DAB = 60° \).
• Угол между плоскостью ADC₁ и плоскостью основания \( ABCD \) равен 60°.

Найти:

• а) высоту ромба;
• б) высоту параллелепипеда;
• в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
• г) площадь поверхности параллелепипеда.

Решение:

1. Высота ромба (пункт а):

Ромб с углом 60° состоит из двух равносторонних треугольников. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как \( \angle DAB = 60° \) и AB = AD = a, то треугольник ABD — равносторонний. Следовательно, BD = a.

Другая диагональ AC. В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам. \( \angle ABC = 180° - 60° = 120° \).

В треугольнике ABC, \( \angle ABC = 120° \), AB = BC = a. Проведем высоту ромба из вершины D к стороне AB (или из C к AD).

Пусть h — высота ромба, опущенная из вершины D на сторону AB. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, стороной ромба и частью стороны, угол будет 60°.

\( h = AD \cdot \sin(\angle DAB) = a \cdot \sin(60°) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ на а): Высота ромба равна \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

2. Высота параллелепипеда (пункт б):

Угол между плоскостью ADC₁ и плоскостью основания ABCD равен 60°. Для нахождения этого угла построим перпендикуляры из точки D к линии пересечения плоскостей.

Линия пересечения плоскостей — это диагональ AC.

Проведем диагональ AC. Треугольник ADC является равнобедренным с углами \( \angle DAC = \angle DCA = \frac{180° - 60°}{2} = 60° \). То есть, ADC - равносторонний. \( AC = a \).

В параллелограмме ABCD, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2  AB  BC   \angle ABC \).

\( AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2   (120°) = 2a^2 - 2a^2  (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \).

\( AC = a\sqrt{3} \).

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. O — середина AC.

Проведем из O перпендикуляр к AC в плоскости основания. Это будет половина диагонали BD, то есть \( BO = OD = \frac{a}{2} \).

Теперь рассмотрим плоскость ADC₁. Вертикальная высота параллелепипеда (H) связана с ребром \( AA_1 \).

Плоскость ADC₁. Угол между плоскостями 60°. Линия пересечения — AC.

Проведем из точки D перпендикуляр к AC в плоскости основания. Это будет DO (половина диагонали BD).

Проведем из точки C₁ перпендикуляр к AC в плоскости ADC₁. Эта линия будет являться высотой треугольника ADC₁.

Пусть H — высота параллелепипеда \( H = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 \).

Угол между плоскостью ADC₁ и плоскостью основания ABCD. Линия пересечения — AC. Опустим перпендикуляр из D на AC (это DO) и из C₁ на AC (пусть это будет C₁K, где K на AC).

Если мы рассмотрим сечение, проходящее через D и D₁ перпендикулярно AC, то угол будет 60°.

Пусть H — высота параллелепипеда.

Рассмотрим треугольник ADD₁. \( AD = a \), \( DD_1 = H \).

Плоскость ADC₁. Угол между плоскостями ADC₁ и ABCD равен 60°.

Из точки D проведем перпендикуляр к AC. Это будет DO, где O — середина AC. \( DO = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2} \).

Из точки D₁ проведем перпендикуляр к AC. Пусть точка пересечения будет O (так как D₁O будет параллельно AB и CD, и перпендикулярно AC).

Угол между DO и D₁O будет 60°.

Треугольник DOD₁ — прямоугольный (так как DD₁ перпендикулярно плоскости основания).

\( \angle DD_1O = 90° \).

\( \tan(\angle D_1OD) = \frac{DD_1}{DO} \)

\( \tan(60°) = \frac{H}{a/2} \)

\( \sqrt{3} = \frac{H}{a/2} \)

\( H = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Ответ на б): Высота параллелепипеда равна \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

3. Площадь боковой поверхности (пункт в):

Боковая поверхность состоит из четырех параллелограммов: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Площадь каждого параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь боковой грани равна произведению стороны основания ромба (a) на высоту параллелепипеда (H), если основание — ромб. Но это только если грани — прямоугольники, что верно для прямого параллелепипеда.

Площадь боковой грани \( ABB_1A_1 = AB  H = a  \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \).

Так как основание — ромб, и все стороны равны a, то все боковые грани равны.

\( S_{бок} = 4 \u0017 \text{площадь одной боковой грани} \)

\( S_{бок} = 4 \u0017 \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2a^2\sqrt{3} \).

Ответ на в): Площадь боковой поверхности равна \( 2a^2\sqrt{3} \).

4. Площадь поверхности параллелепипеда (пункт г):

Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь основания (ромба) ABCD:

\( S_{осн} = a^2 \cdot \sin(60°) = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( S_{пов} = 2 \u0017 S_{осн} + S_{бок} \)

\( S_{пов} = 2 \u0017 \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 2a^2\sqrt{3} \)

\( S_{пов} = a^2\sqrt{3} + 2a^2\sqrt{3} = 3a^2\sqrt{3} \).

Ответ на г): Площадь поверхности параллелепипеда равна \( 3a^2\sqrt{3} \).